XIX Congresso Unione Matematica Italiana, Bologna 12-17 settembre 2011
Università di Bologna - sez. Didattica della matematica - 15/09/2011, 14:45-15:00


Materiale per approcci costruttivi alla matematica

Alberto Marini
CNR IMATI Sezione di Milano - Via Bassini, 15   I-20133 Milano
alberto@mi.imati.cnr.it       alberto.marini39@gmail.com
http://www.mi.imati.cnr.it/~alberto/








Introduzione

La pagina http://www.mi.imati.cnr.it/~alberto rende accessibile un testo in progressivo sviluppo rivolto particolarmente a chi affronta la matematica mosso da esigenze computazionali.

Attività motivata dall'auspicata crescita dell'interesse per la matematica applicabile, anche al di fuori delle sedi tradizionali di insegnamento.

Chi è impegnato in calcoli effettivi deve occuparsi di molti problemi: precisione, efficienza, versatilità delle procedure; strumenti informatici come linguaggi, basi dati e canali Web. comprensione di metodi matematici anche generali ed astratti.

Il materiale che si va rendendo disponibile vuole contribuire, a presentare una buona gamma di risultati matematici e un punto di vista organico sulle varie relazioni fra processi di calcolo effettivo (finiti) e metodi generali ed astratti.

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Modalità di presentazione dei materiali

Conviene veicolare i materiali servendosi di supporti digitali e di canali Web.

Vantaggi "fisici:"

Internet ormai preferibile per gran parte delle documentazioni.
Prospettive di nuovi strumenti di lavoro: mobilità, navigazione Web, funzioni di e-book, calcoli massicci.
Crescita nella Rete di contenuti scientifici e tecnologici e di contenuti aperti e condivisibili.
Prospettive di disponibilità di materiali dinamici e di varietà di formati.

Web come filo diretto per critiche, segnalazioni di difetti e contributi.

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Disponibilità attuale

Files in formato PDF generati da PlainTeX (preferito per abitudini e strumenti a LaTeX considerato verboso).

Attualmente riguardano: nozioni di base, alcuni argomenti di matematica discreta nonché per completezza elementi di geometria, elementi di analisi e alcune teorie di riferimento.

Rinuncia a commercializzazione da parte di un pensionato che sollecita verso questo genere di attività, in particolare i molti docenti reclutati fra 1960 e 1980.

Testi non definitivi, sia per lacune e disomogeneità, sia per opportunità di lasciare permanentemente ampliabili esempi, figure, citazioni, puntualizzazioni.

Nei testi sono inseriti molti collegamenti sitografici, in particolare a it.wikipedia.org ed a en.wikipedia.org.
Sono adottati molti termini e simboli poco usuali, in quanto considerati utili per varie precisazioni. Essi devono essere esaurientemente definiti e facilmente reperibili attraverso indici estesi da gestire con strumenti di text processing. Previsti indice di titoli di capitoli e sezioni, indice dei simboli e e indice dei termini. Questi indici vogliono rendere il materiale consultabile come una rete.

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Alcuni atteggiamenti per le scelte dei contenuti

Importanza primaria ai calcoli, in contrapposizione con i calcoli in posizione ancillare rispetto alla esposizione logico deduttiva.

Opportunità di riferire risultati e sviluppi computazionali ad attività svolte da esecutori sia umani che artificiali.

Rilievo ai problemi posti dalla organizzazione sistematica delle conoscenze che servono ai calcoli, dalle piu` astratte alle piu` tecnologiche

Nella prima parte sulle nozioni di base si guarda con cautela all'impostazione assiomatica della matematica. Si privilegia il lettore più vicino agli algoritmi cha alla impostazione assiomatica; si adottano solo definizioni costruttive e si cercano motivazioni collegate alla pratica.

Si dà peso agli algoritmi e si presenta un linguaggio procedurale, C semplificato

Ogni definizione viene motivata dalla sua utilità; attenzione alle istanze dell'utilitarismo e del consequenzialismo, anche a scapito di istanze estetiche.

Avvio finitistico, in accordo con la constatazione che ogni calcolo è un processo finito. Si trattano esempi maneggevoli da insiemi finiti, funzioni finite, matrici; questi esempi potrebbero servire per l'avvio alla programmazione.

Si inizia parlando delle stringhe di caratteri come oggetti delle prime operazioni e come elementi portanti delle comunicazioni fra esecutori umani e artificiali, (in particolare per la programmazione).

Gli interi naturali sono definiti attraverso le loro notazioni unadiche come lunghezze di stringhe. La giustapposizione delle stringhe conduce alla somma degli interi naturali. Le coppie di stringhe conducono al prodotto cartesiano e quindi al prodotto degli interi.

Le sequenze di stringhe rappresentano gli insiemi espliciti. Altre stringhe opportunamente articolate consentono di gestire:

Si insiste sui digrafi, soprattutto in quanto servono a rappresentare schemi di processi e di dimostrazioni. Più in generale si dà peso alla combinatorica per la sua propedeuticità per algoritmi, funzioni speciali, calcolo simbolico, e per molti problemi di strutture specifiche.

Si introducono gli insiemi numerabili generabili da macchine alla Turing con risorse illimitate. Si giustifica la nozione di infinito discreto con l'opportunità espositiva di presupporre la disponibilità di risorse illimitate.

Nozioni geometriche introdotte in ambienti "poveri" Z×Z e Q×Q anch'essi utili all'introduzione alla programmazione.

Attenzione per le simmetrie e quindi ai gruppi, insistendo sui vantaggi forniti dal riconoscimento delle simmetrie, in termini di economia di pensiero, di vantaggi espositivi e di versatilità degli algoritmi

I numeri reali e le nozioni generali di insieme e di infinito sono definite assiomaticamente e si insiste sulla distinzione dalle entità definibili costruttivamente e sulla opportunità di disporre di entrambi i generi.

Viene spesso discussa la polarità fra entità utilizzabili per soluzioni effettive ed entità introdotte per le loro proprietà, prescindendo dalla loro costruibilità. Queste si motivano per gli applicativi, in quanto essenziali per una efficiente organizzazione delle competenze matematiche complessive.

In particolare si distinguono i numeri reali calcolabili dai restanti numeri reali, rilevando la non esemplificabilità di questi ultimi.

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