ml - Introduzione interattiva di MATLAB Vai all'indice del corso
Matrici e trasformazioni lineari
Versione 0.8
1mat.00 - In questo modulo
1mat.10 - Identita` e proiettori nel piano
1mat.11 - Riflessione nel piano rispetto alla bisettrice x=y
1mat.12 - Altre semplici riflessioni nel piano
1mat.13 - Dilatazioni nel piano lungo gli assi
1mat.14 - Matrici di slittamenti nel piano
1mat.15 - Composizioni di slittamenti e dilatazioni nel piano
1mat.16 - Matrici di rotazioni nel piano
1mat.17 - Composizioni di rotazioni nel piano
1mat.18 - Una matrice 2 x 2 e la relativa trasformazione del piano
1mat.20 - Trasformazioni e loro inverse
1mat.22 - Matrice non invertibile
1mat.23 - Determinante 2 x 2 come area
1mat.25 - Soluzioni di sistemi lineari 2 x 2
1mat.30 - Matrici 3 x 3
1mat.32 -
1mat.34 -
1mat.36 -
1mat.38 -
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Cominciamo con panoramica di trasformazioni e matrici nel piano a partire dalle piu` semplici.Daremo poi una interpretazione geometrica di una trasformazione espressa da una generica matrice 2 x 2.
Successivamente illustriamo le matrici 3 x 3 e le corrispondenti trasformazioni dello spazio vettoriale tridimensionale.
Affrontermo infine i problemi della esistenza di trasformazioni inverse considerando i determinanti 2 x 2 e 3 x 3 rispettivamente come aree e come volumi.
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1mat.10 - Identita` e proiettori nel piano
Consideriamo le seguenti matrici 2 x 2
>> Id = eye(2), pr1 = [ 1 0; 0 0], pr2 = [ 0 0; 0 1]
Id =
1 0
0 1
pr1 =
1 0
0 0
pr2 =
0 0
0 1
Si verifica facilmente che la prima lascia invariato ogni vettore piano, la pr1 trasforma ogni vettore nella sua proiezione sul primo asse e la pr2 trasforma ogni vettore nella sua proiezione sul secondo asse. Si vede anche che Id = pr1 + pr2: la trasformazione identita` si puo` considerare la somma del proiettore sul primo asse e del proiettore sul secondo.
Quindi se v = v1 e1+ v2 e2 si ha pr1 v = v1 e1 pr2 v = v2 e2.
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1mat.11 - Riflessione nel piano rispetto alla bisettrice x=y
Consideriamo l'azione delle seguenti matrici:
>> Rb13 = [ 0 1 ; 1 0 ] , pr12 = [ 0 1 ; 0 0 ] , pr21 = [ 0 0 ; 1 0 ] ,
Rb13 =
0 1
1 0
pr12 =
0 1
0 0
pr21 =
0 0
1 0
Si trova che Rb13 scambia tra di loro le proiezioni sui due assi e quindi ha l'effetto di riflettere i vettori rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, la retta x=y. Le altre due riducono il vettore ad una sua proiezione e lo riflettono rispetto alla x=y.
Si osserva anche che Rb13 = pr12 + pr21, pr12 = Rb12 * pr1 e pr21 = Rb12 * pr2,
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1mat.12 - altre semplici riflessioni nel piano
Si verifica facilmente che la riflessione nel piano rispetto all'asse Oy e` data dalla matrice:
>> ROy = [ -1 0 ; 0 1 ]
Si verifica che la riflessione nel piano rispetto all'asse Ox e` data dalla matrice:
>> ROx = [ 1 0 ; 0 -1 ]
La riflessione nel piano rispetto all'asse Ox e` data dalla matrice:
>> ROx = [ 1 0 ; 0 -1 ]
La riflessione nel piano rispetto alla bisettrice del secondo e del terzo quadrante e` data dalla matrice:
>> Rb24 = [ 0 -1 ; -1 0 ]
Si trova invece che la matrice
>> RO = [ -1 0 ; 0 -1]
esprime la simmetria centrale, scambio dei punti simmetrici rispetto all'origine.
Si osserva anche che Rb24 = RO1 * RO2 = RO2 * RO1
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1mat.13 - Dilatazioni nel piano lungo gli assi
Consideriamo l'azione della seguente matrice:
>> Dil23 = [ 0 2 ; 0 3 ];
Si trova che Dil23 dilata le lunghezze lungo l'asse Ox del fattore 2 e triplica le lunghezze lungo l'asse Oy e si osserva che Dil = 2*pr1 + 3*pr2 e che trasforma la circonferenza con centro nell'origine di raggio 1 nella ellisse con asse orizzontale di lunghezza 4 ed asse verticale di lunghezza 6.
In genere si hanno matrici di dilatazione della forma
| = a pr1 + b pr2 con a,b /=0 |
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1mat.14 - Matrici di slittamenti nel piano
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1mat.15 - Composizioni di slittamenti e dilatazioni nel piano
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1mat.16 - Matrici di rotazioni nel piano
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1mat.17 - Composizioni di rotazioni nel piano
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1mat.20 - - Trasformazioni e loro inverse
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1mat.22 - Matrice non invertibile
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1mat.23 - Determinante 2 x 2 come area
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1mat.25 - Soluzioni di sistemi lineari 2 x 2
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