ml - Introduzione interattiva di MATLAB Vai all'indice del corso
Numeri complessi
Versione 0.82
1cpx.10 - Numeri complessi
1cpx.11 - Somme e prodotti di numeri complessi
1cpx.12 - Potenze di numeri complessi
1cpx.13 - Radici quadrate di numeri negativi
1cpx.15 - Variazioni di significato di i
1cpx.16 - Altri calcoli sulla i
1cpx.17 - Calcoli su numeri complessi
1cpx.20 - Quadro delle functions per i numeri complessi
1cpx.21 - Valore assoluto: abs
1cpx.22 - Angolo di fase: angle
1cpx.23 - Coniugazione complessa: conj
1cpx.24 - Parte reale di numero complesso:
1cpx.25 - Parte immaginaria di numero complesso
1cpx.30 - Spirali delle potenze di numeri complessi
1cpx.31 - Radici dell'unita`
1cpx.33 - Radici di -1
1cpx.35 - Grafico di radici complesse dell'unita`
1cpx.60 - Il comando clear
1cpx.61 - Calcolo e clear
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1cpx.01 - Generalità sui numeri complessi
Se x e` una variabile reale si trovano polinomi di secondo grado nella x che posseggono due radici distinte, ad es. x2-1, altri che posseggono due radici coincidenti, questo e` il caso di (x-3)2, ed altri che non possiedono radici reali, come accade a x2+1.
Una situazione analoga si riscontra con i polinomi dei gradi superiori: tra i polinomi reali di grado n ve ne sono alcuni che possiedono n radici reali diverse, altri privi di radici reali ed altri ancora con 1, 2, ..., n-1 radici reali.
I numeri complessi sono stati introdotti per ampliare il campo dei numeri reali al fine di estendere la portata delle operazioni numeriche; in particolare essi forniscono un ambiente nel quale ogni polinomio di grado n possiede esattamente n zeri (pur di tener conto della loro cosiddetta molteplicita`).
In effetti questi numeri, che ad un primo approccio possono sembrare una stranezza intellettuale, hanno aperto la possibilita` di sviluppare metodi di calcolo di portata molto superiore di quella dei metodi che si servono solo dei numeri reali. I calcoli che vengono sviluppati mediante numeri complessi risultano di grandissima utilita` non solo nell'ambito strettamente matematico, ma anche per la fisica (meccanica, ottica, fisica atomica, ...), la chimica (studio di moti molecolari) e la tecnologia (elettrotecnica, trasmissioni, ...).
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I numeri complessi corrispondono ai punti di un piano cartesiano nel quale l'asse delle x fornisce i numeri reali e l'asse delle y i cosiddetti numeri immaginari puri, numeri che elevati al quadrato conducono a numeri negativi
I numeri complessi sono scritti nella forma algebrica a + bi, dove ``i`` indica l'unità immaginaria, ovvero la radice quadrata di -1, ovvero il numero tale che i*i=-1. Con MATLAB l'unita` immaginaria puo` essere utilizzata non solo attraveso l'identificatore i, ma anche attraverso il sinonimo ``j``, del tutto equivalente.
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1cpx.11 - Somme e prodotti di numeri complessi
Considera le seguenti richieste di calcolo
>> -i+2-2j,(5+3j)+(5-3i),(5+3j)-(5-3i),(5+3j)*(5-3i),(5+3j)/(5-3i)
ans =
2.0000 - 3.0000i
ans =
10
ans =
0 + 6.0000i
ans =
34
ans =
0.4706 + 0.8824i
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1cpx.12 - Potenze di numeri complessi
Considera le seguenti richieste di calcolo
>> 0.5^3,i^5, 2i^6
ans =
0.1250
ans =
0 + 1.0000i
ans =
-64.0000 + 0.0000i
>> (1+i)^2,(1+i)^3
ans =
0.0000 + 2.0000i
ans =
-2.0000 + 2.0000i
>> -3i^3
ans =
0.0000 +27.0000i
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1cpx.13 - Radici quadrate di numeri negativi
Considera le seguenti richieste di calcolo
>> sqrt(-1)
ans =
0 + 1.0000i
Si osserva che sqrt fornisce una sola delle due radici quadrate dell' argomento, quella con parte immaginaria positiva. Questa scelta e` simile a quella relativa alle potenze della forma (-b)^(1/d) con d intero dispari.
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1cpx.15 - Variazioni di significato di i
Stampa il contenuto della variabile i, assegna alla variabile i il valore 3, calcola 2*i, calcola 2i. Osserva le diverse interpretazioni delle espressioni 2i e 2*i .
>> i
ans =
0 + 1.0000i
>> i=3
i =
3
>> 2*i
ans =
6
>> 2i
ans =
0 + 2.0000i
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1cpx.16 - Altri calcoli sulla i
Assegna alla variabile i il valore 5, calcola le espressioni -i+2-2i e -1i+2-2i e medita sui risultati.
>> i=5
i =
5
>> -i+2-2i
ans =
-3.0000 - 2.0000i
>> -1i+2-2i
ans =
2.0000 - 3.0000i
>>
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1cpx.17 - Calcoli su numeri complessi
Scrivi il comando del punto 1cpx.31 seguito dal simbolo ``;``. Ripeti lo stesso comando sostituendo il simbolo ``,`` con il simbolo ``;`` in vari modi. Infine controlla il contenuto della variabile ans.
>> sqrt(-1), i^5, -i+2-2j,(1-i)^3,(5+3j)*(5-3i);
ans =
0 + 1.0000i
ans =
0 + 1.0000i
ans =
2.0000 - 3.0000i
ans =
-2.0000 - 2.0000i
" sqrt(-1), i^5; -i+2-2j,(1-i)^3,(5+3j)*(5-3i);
ans =
0 + 1.0000i
ans =
2.0000 - 3.0000i
ans =
-2.0000 - 2.0000i
>> ans =
34
>>
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1cpx.20 - Quadro delle functions per i numeri complessi
MATLAB mette a disposizione alcune functions che effettuano operazioni di base sui numeri complessi. Presentiamone un quadro
| abs(z) | valore assoluto del numero complesso z |
| angle(z) | angolo di fase, in radianti, del numero complesso z |
| conj(z) | complesso coniugato del numero complesso z |
| real(z) | parte reale del numero complesso z |
| imag(z) | parte immaginaria del numero complesso z |
| isreal(z) | valore true se il numero complesso z e` reale |
Ricordiamo poi che molte functions per il calcolo di funzioni speciali possono essere chiamate con argomenti complessi e forniscono valori complessi, in quanto considerano le funzioni come funzioni di variabile complessa.
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1cpx.21 - Valore assoluto: abs
Si considerino i seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> a=abs(2+j)
a =
2.2361
>> rec=abs(1/(2+j))
rec =
0.4472
>> a*rec
ans =
1.0000
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1cpx.22 - Angolo di fase: angle
Si considerino gli effetti dei seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> angle(i+1),pi/4
ans =
0.7854
ans =
0.7854
>> r3s2=sqrt(3)/2
r3s2 =
0.8660
>> angle(0.5+r3s2*i),pi/3
ans =
1.0472
ans =
1.0472
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1cpx.23 - Coniugazione complessa: conj
Si considerino gli effetti dei seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> z=2-0.5i
ans =
2 - 0.5000i
>> conj(z)
ans =
2 + 0.5000i
>> z*ans
ans =
4.25
>> z=0.5-pi*i
z =
0.5000 - 3.1416i
>> conj(z)
ans =
0.5000 + 3.1416i
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1cpx.24 - Parte reale di numero complesso: real
Si considerino gli effetti dei seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> z=2-0.5i
ans =
2 - 0.5000i
>> conj(z)
ans =
2 + 0.5000i
>> z*ans
ans =
4.25
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1cpx.25 - Parte immaginaria di numero complessoimag
Si considerino gli effetti dei seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> z=2-0.5i
ans =
2 - 0.5000i
>> conj(z)
ans =
2 + 0.5000i
>> z*ans
ans =
4.25
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1cpx.30 - Spirali delle potenze di numeri complessi
Si considerino gli effetti dei seguenti comandi e si interpretino geometricamente.
>> z=2-0.5i
ans =
2 - 0.5000i
>> conj(z)
ans =
2 + 0.5000i
>> z*ans
ans =
4.25
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Si considerino gli effetti dei seguenti comandi per la verifica delle radici dell'unita` e si interpretino geometricamente.
>> r3u1 = -.5 + sqrt(3)/2 *i
r3u1 =
-0.5000 + 0.8660i
>> r3u2 = r3u1^2
r3u2 =
-.5000 + 0.8660i
>> r3u0 = r3u1^3
r3u0 =
1
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Le radici n-esime del numero -1 si trovano sui vertici del poligono regolare con n lati avente i vertici sulla circonferenza unitaria, uno dei quali nel punto -1. Verificarlo con MATLAB e con la interpretazione geometrica.
>> r3mu1 = .5 + sqrt(3)/2 *i
r3mu1 =
0.5000 + 0.8660i
>> r3mu2 = r3mu1^2
r3mu2 =
-.5000 + 0.8660i
>> r3mu0 = r3mu1^3
r3mu0 =
-1.0000 + 0.0000i
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1cpx.35 - Grafico di radici complesse dell'unita`
Tracciare il grafico delle radici complesse seste ed ottave dell'unita`.
>> teta8 = 0 : pi/4 : 2*pi; >> teta6 = 0 : pi/3 : 5/3*pi; >> plot(exp(i*teta8),'-o',exp(i*teta6,'+r') >>
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Può essere utile ripristinare il valore di default servendosi del comando della forma
clear nome_variabile;
Il comando
clear
ripristina tutti i valori di default e cancella tutte le variabili definite dall'utente.
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Considera i seguenti comandi ottenuti da quelli in 1cpx.???33 ma con l'inserimento di un comando clear.
>> i=3
i =
3
>> clear i
>> 2*i
ans =
0 + 2.0000i
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